Aseta teoria ja miten sitä käytetään

Joukkoteoria on peruskäsite koko matematiikassa. Tämä matematiikan haara muodostaa perustan muille aiheille.

Intuitiivisesti joukko on kokoelma esineitä, joita kutsutaan elementeiksi. Vaikka tämä näyttää yksinkertaiselta idealta, sillä on joitain kauaskantoisia seurauksia.

Sarjan elementit voivat todella olla mitä tahansa - numerot, tilat, autot, ihmiset tai jopa muut sarjat ovat kaikki mahdollisuuksia elementeille. Lähes mitä tahansa, joka voidaan kerätä yhdessä, voidaan käyttää sarjan muodostamiseen, vaikka joihinkin asioihin meidän on oltava varovaisia.

Sarjan elementit ovat joko sarjassa tai eivät sarjassa. Voimme kuvata joukon määrittelevällä ominaisuudella tai luetteloida sarjan elementit. Järjestys, jolla ne luetellaan, ei ole tärkeä. Joten joukot {1, 2, 3} ja {1, 3, 2} ovat yhtä suuret joukot, koska ne molemmat sisältävät samat elementit.

Kaksi sarjaa ansaitsevat erityisen maininnan. Ensimmäinen on yleinen sarja, jota tyypillisesti merkitään

Toista sarjaa, joka vaatii jonkin verran huomiota, kutsutaan tyhjä sarja. Tyhjä sarja on ainutlaatuinen sarja, jossa ei ole elementtejä. Voimme kirjoittaa tämän nimellä {} ja merkitä tätä asetusta symbolilla ∅.

Kokoelma eräitä sarjan elementtejä kutsutaan a osajoukko of . Me sanomme sen on alajoukko B jos ja vain jos jokainen elementti on myös osa B. Jos on rajallinen luku n elementtejä sarjassa, niin niitä on yhteensä 2ⁿ osajoukot . Tämä kokoelma kaikista on joukko, jota kutsutaan virta asetettu of .

Aivan kuten voimme suorittaa toimintoja, kuten summauksen - kahdella numerolla uuden numeron saamiseksi, joukon teoriaoperaatioita käytetään muodostamaan joukko kahdesta muusta joukosta. Operaatioita on useita, mutta melkein kaikki koostuvat seuraavista kolmesta operaatiosta:

• liitto - Liitto tarkoittaa yhdistämistä. Sarjojen liitto ja B koostuu elementeistä, jotka ovat molemmissa tai B.
• Risteys - Risteyskohdassa kohtaavat kaksi asiaa. Sarjojen leikkauspiste ja B koostuu elementeistä, jotka molemmissa ja B.
• Täydentää - Sarjan täydennys koostuu kaikista yleisjoukon elementeistä, jotka eivät ole .

Yhtä työkalua, josta on apua eri ryhmien välisen suhteen kuvaamisessa, kutsutaan Venn-kaaviona. Suorakulmio edustaa yleistä asetusta ongelmallemme. Jokainen sarja esitetään ympyrällä. Jos ympyrät ovat päällekkäin toistensa kanssa, se kuvaa kahden sarjamme leikkausta.

Sarja-teoriaa käytetään koko matematiikassa. Sitä käytetään perustana monille matematiikan osa-alueille. Tilastoihin liittyvillä alueilla sitä käytetään erityisen todennäköisesti. Suuri osa todennäköisyyden käsitteistä johdetaan joukkoteorian seurauksista. Itse asiassa yksi tapa ilmoittaa todennäköisyyden aksioomat sisältää joukkoteorian.