Mikä on Cauchyn jakauma?

Yksi satunnaismuuttujan jakauma ei ole tärkeä sen sovelluksille, vaan sille, mitä se kertoo määritelmistämme. Cauchy-jakauma on yksi tällainen esimerkki, johon viitataan joskus patologisena esimerkkinä. Syynä tähän on, että vaikka tämä jakauma on hyvin määritelty ja sillä on yhteys fyysiseen ilmiöön, jakaumalla ei ole keskiarvoa tai varianssia. Itse asiassa tällä satunnaismuuttujalla ei ole a momentin tuottava toiminto.

Määrittelemme Cauchyn jakauman harkitsemalla kehruuta, kuten tyyppiä lautapelissä. Tämän kehruun keskusta ankkuroidaan y akseli pisteessä (0, 1). Kierteittäjän kehrämisen jälkeen jatkamme kehruun linjaosaa, kunnes se ylittää x-akselin. Tämä määritetään satunnaismuuttujana X.

Annetaan w merkitä pienempi kahdesta kulmasta, jonka kehruu tekee y akselilla. Oletetaan, että tämä kehruu muodostaa yhtä todennäköisesti minkä tahansa kulman kuin toinen, ja siten W: llä on tasainen jakauma, joka vaihtelee välillä -π / 2 - π / 2.

Perus trigonometria tarjoaa meille yhteyden kahden satunnaismuuttujamme välillä:

X = rusketusW.

Kumulatiivinen jakelufunktioXon johdettu seuraavasti:

H(x) = P(X < x) = P(rusketusW < x) = P(W < arctanX)

Käytämme sitten sitä tosiasiaa, ettäW on yhtenäinen, ja tämä antaa meille:

H(x) = 0.5 + (arctanx)/π

Todennäköisyystiheysfunktion saamiseksi erotamme kumulatiivisen tiheysfunktion. Tuloksena on h(x) = 1/[π (1 + x²) ]

Cauchyn jakauma tekee mielenkiintoisesta se, että vaikka olemme määritellyt sen käyttämällä fyysistä järjestelmää satunnainen kehruu, satunnaismuuttuja, jolla on Cauchyn jakauma, ei sisällä keskiarvoa, varianssia tai hetkeä tuottavaa toimia. Kaikki hetkiä alkuperästä, jota käytetään näiden parametrien määrittelemiseen, ei ole olemassa.

Aloitamme harkitsemalla keskiarvoa. Keskiarvo määritellään satunnaismuuttujamme odotetuksi arvoksi ja siten E [X] = ∫_-∞^∞x /[π (1 + x²)] dx.

Integroimme käyttämällä korvaaminen. Jos asetamme U = 1 +x² sitten näemme sen dU = 2x dx. Vaihdon jälkeen tuloksena oleva virheellinen integraali ei konvergoitu. Tämä tarkoittaa, että odotettua arvoa ei ole olemassa ja keskiarvo on määrittelemätön.

Samoin varianssia ja momentin muodostavaa funktiota ei määritetä.

Cauchy-jakauma on nimetty ranskalaiselle matemaatikolle Augustin-Louis Cauchylle (1789 - 1857). Huolimatta siitä, että jakelu nimettiin Cauchyksi, jakelua koskevat tiedot julkaisi ensin Poisson.