Aaltojen matemaattiset ominaisuudet

Fyysiset aallot tai mekaaniset aallot, muodostuvat väliaineen värähtelystä, olkoon sitten naru, maapallonkuori tai kaasujen ja nesteiden hiukkaset. Aalloilla on matemaattisia ominaisuuksia, jotka voidaan analysoida aallon liikkeen ymmärtämiseksi. Tämä artikkeli esittelee nämä yleiset aalto-ominaisuudet sen sijaan, miten niitä voitaisiin soveltaa tietyissä fysiikan tilanteissa.

Mekaanisia aaltoja on kahta tyyppiä.

A on sellainen, että väliaineen siirtymät ovat kohtisuorassa (poikittain) aallon kulkusuuntaan väliainetta pitkin. Merkkijono värähtelee jaksollisessa liikkeessä, niin että aallot liikkuvat sitä pitkin, on poikittaisaalto, samoin kuin valtameren aallot.

pitkittäisaalto on sellainen, että väliaineen siirtymät ovat edestakaisin samalla suunnalla kuin itse aalto. Ääniaallot, joissa ilmahiukkaset työntyvät pitkin kulkusuuntaan, ovat esimerkki pitkittäisaallosta.

Vaikka tässä artikkelissa käsitellyt aallot viittaavat kulkemiseen väliaineessa, tässä esitettyä matematiikkaa voidaan käyttää ei-mekaanisten aaltojen ominaisuuksien analysointiin. Esimerkiksi sähkömagneettinen säteily voi kulkea tyhjän tilan läpi, mutta sillä on silti samat matemaattiset ominaisuudet kuin muilla aaltoilla. Esimerkiksi

1. Aaltoja voidaan pitää häiriöinä väliaineessa tasapainotilan ympärillä, joka on yleensä levossa. Tämän häiriön energia on se, mikä aiheuttaa aallon liikkeen. Vesiallas on tasapainossa, kun aaltoja ei ole, mutta heti kun kivi heitetään siihen, hiukkasten tasapaino häiriintyy ja aallon liike alkaa.
2. Aallon häiriö kulkee, tai propogates, tietyllä nopeudella, nimeltään aallon nopeus (v).
3. Aallot kuljettavat energiaa, mutta ei väliä. Medium itsessään ei matkusta; yksittäiset hiukkaset liikkuvat edestakaisin tai ylös ja alas liikkeessä tasapainotilan ympärillä.

Aallon liikkeen matemaattiseksi kuvaamiseksi viitataan käsitteeseen a aalto-toiminto, joka kuvaa hiukkasen sijaintia väliaineessa milloin tahansa. Aaltofunktioiden perusteellisin on siniaalto, tai sinimuotoinen aalto, joka on a jaksollinen aalto (ts. aalto toistuvilla liikkeillä).

On tärkeää huomata, että aaltofunktio ei kuvaa fyysistä aaltoa, vaan pikemminkin se on graafinen esitys tasapainon sijainnin muutoksesta. Tämä voi olla hämmentävä käsite, mutta hyödyllinen asia on, että voimme käyttää sinimuotoista aaltoa kuvaamaan periodisimmin liikkeitä, kuten liikkumista ympyrässä tai heilurin heilauttamista, jotka eivät välttämättä näytä aaltomaisilta, kun katsot todellista liikettä.

• aallon nopeus (v) - aallon etenemisnopeus
• amplitudi () - siirtymisen enimmäisarvo tasapainosta SI-yksikköinä metreinä. Yleensä se on etäisyys aallon tasapainon keskipisteestä sen suurimpaan siirtymään tai se on puoli aallon kokonaissiirtymää.
• aika (T) - on yhden aaltosyklin aika (kaksi pulssia, tai harjasta harjaan tai läpi kouruun), SI-sekuntiyksikköinä (tosin siihen voidaan viitata "sekuntia sykliä kohti").
• taajuus (f) - jaksojen lukumäärä aikayksikössä. SI-taajuusyksikkö on hertsi (Hz) ja

  1 Hz = 1 sykli / s = 1 s^-1

• kulmataajuus (ω) - on 2π kertaa taajuus, radiaaneina SI-yksikköinä sekunnissa.
• aallonpituus (λ) - kahden pisteen välinen etäisyys vastaavissa paikoissa aalon peräkkäisissä toistoissa, joten (esimerkiksi) harjasta tai kourusta toiseen, SI-yksiköt metriä.
• aalto numero (K) - kutsutaan myös etenemisvakio, tämä hyödyllinen määrä on määritelty 2: ksi π jaettuna aallonpituudella, joten SI-yksiköt ovat radiaaneja metriä kohti.
• pulssi - yksi puoliaallonpituus tasapainosta takaisin

Joitakin hyödyllisiä yhtälöitä edellä mainittujen määrien määrittelyssä ovat:

v = λ / T = X f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

K = 2π/ω

ω = vk

Pisteen pystysuora sijainti aallossa, y, voidaan löytää vaaka-asennon funktiona, x, ja aika, T, kun tarkastelemme sitä. Kiitämme ystävällisiä matemaatikkoja, jotka ovat tehneet tämän työn meidän puolestamme, ja saamme seuraavat hyödylliset yhtälöt aallon liikkeen kuvaamiseksi:

y(x, t) = synti ω(T - x/v) = synti 2π f(T - x/v)

y(x, t) = synti 2π(T/T - x/v)

y (x, t) = synti (. t - kx)

Viimeinen aaltofunktion ominaisuus on soveltaminen laskenta toisen johdannaisen ottamiseksi tuottaa aaltoyhtälö, joka on kiehtova ja joskus hyödyllinen tuote (jota jälleen kerran kiitämme matemaatikkoja ja hyväksymme todistamatta sitä):

d²y / dx² = (1 / v²) d²y / dt²

- ryhmän toinen johdannainen y kunnioittaen x on yhtä kuin toisen johdannainen y kunnioittaen T jaettuna aallonopeudella neliö. Tämän yhtälön tärkein hyödyllisyys on se aina kun se tapahtuu, tiedämme, että toiminto y toimii aallona aallonopeudella v ja siksi, tilanne voidaan kuvata aaltofunktiolla.