Dirac-delta-funktio on nimi, joka annetaan matemaattiselle rakenteelle, jonka on tarkoitus edustaa idealisoitua pisteobjektia, kuten pistemassaa tai pistevarausta. Sillä on laajoja sovelluksia kvantimekaniikassa ja muualla kvanttifysiikka, kuten sitä yleensä käytetään kvantissa aaltofunktiolle. Deltafunktio esitetään kreikkalaisella pienellä symbolilla delta, joka on kirjoitettu funktiona: δ (x).
Kuinka Delta-toiminto toimii
Tämä esitys saavutetaan määrittelemällä Dirac-deltafunktio siten, että sen arvo on 0 kaikkialla paitsi tuloarvolla 0. Siinä vaiheessa se edustaa äärettömän korkeaa piikkiä. Koko linjan otettava integraali on yhtä suuri kuin 1. Jos olet opiskellut kivestä, olet todennäköisesti törmännyt tähän ilmiöön aiemmin. Muista, että tämä on käsite, joka otetaan yleensä käyttöön opiskelijoille vuosien teoreettisen fysiikan korkeakoulututkimuksen jälkeen.
Toisin sanoen tulokset ovat seuraavat perustason deltafunktiolle δ (x), jossa on yksiulotteinen muuttuja x, joillekin satunnaisille tuloarvoille:
- δ(5) = 0
- δ(-20) = 0
- δ(38.4) = 0
- δ(-12.2) = 0
- δ(0.11) = 0
- δ(0) = ∞
Voit skaalata funktion kertomalla sen vakiona. Laskennasääntöjen mukaan kertominen vakioarvolla lisää myös integraalin arvoa tällä vakiokertoimella. Koska integraalin δ (x) kaikilla reaalilukuilla on 1, niin kertomalla se vakiona on uusi integraali, joka on sama kuin tämä vakio. Joten esimerkiksi 27δ (x) on integraali kaikissa 27: n reaaliluvulla.
Toinen hyödyllinen huomioitava asia on, että koska toiminnolla ei ole nolla-arvoa vain tulolle 0, niin jos katsot koordinaattiruudukko, jossa pistettäsi ei ole rivissä oikealla puolella 0, tämä voidaan esittää lausekkeella funktion sisääntulon sisällä. Joten jos haluat edustaa ajatusta hiukkasen asemasta x = 5, niin kirjoitat Dirac-delta-funktion muodossa δ (x - 5) = ∞ [koska δ (5 - 5) = ∞].
Jos haluat sitten käyttää tätä toimintoa pistepartikkelien sarjan esittämiseen kvanttijärjestelmässä, voit tehdä sen lisäämällä yhteen erilaiset dirac-deltafunktiot. Konkreettiselle esimerkille funktio, jonka pisteillä x = 5 ja x = 8, voidaan esittää muodossa δ (x - 5) + δ (x - 8). Jos otat tämän funktion integraalin kaikkien lukujen suhteen, saat integraalin edustaa todellisia lukuja, vaikka toiminnot ovat 0 kaikissa muissa paikoissa kuin niissä, joissa ne ovat ovat pisteitä. Tätä konseptia voidaan sitten laajentaa edustamaan tilaa, jolla on kaksi tai kolme ulottuvuutta (esimerkissäni käytetyn yhden ulotteisen tapauksen sijaan).
Tämä on tosin lyhyt johdanto erittäin monimutkaiseen aiheeseen. Tärkeintä on ymmärtää se, että Dirac-delta-funktio on pohjimmiltaan olemassa ainoana tarkoituksena, että funktion integrointi on järkevää. Kun integraalia ei tapahdu, Dirac-delta-toiminnon läsnäolo ei ole erityisen hyödyllinen. Mutta fysiikassa se on aika hyödyllistä, kun on kyse menemisestä alueelta, jolla ei ole hiukkasia, jotka yhtäkkiä esiintyvät vain yhdessä kohdassa.
Delta-toiminnon lähde
Hänen 1930-kirjassaan Kvanttimekaniikan periaatteet, Englantilainen teoreettinen fyysikko Paul Dirac laati kvanttimekaniikan avaintekijät, mukaan lukien bra-ket-merkinnän ja myös hänen Dirac-delta-funktion. Niistä tuli standardikäsitteitä kvanttimekaniikan alalla Schrodingerin yhtälö.