Yleisiä esimerkkejä lukemattomista sarjoista

Kaikki äärettömät sarjat eivät ole samoja. Yksi tapa erottaa nämä joukot on kysymällä onko joukko laskettavissa ääretön tai ei. Tällä tavoin sanomme, että ääretön joukot ovat joko luettavissa olevia tai lukemattomia. Tarkastellaan useita esimerkkejä ääretöntä joukkoa ja päätetään, mitkä niistä ovat lukemattomia.

Aloitamme sulkemalla pois useita esimerkkejä ääretöntä joukkoa. Monien äärettömien joukkojen, joista me välittömästi ajattelemme, havaitaan olevan laskettavasti äärettömiä. Tämä tarkoittaa, että ne voidaan laittaa yksi-yhteen kirjeenvaihtoon luonnollisten lukujen kanssa.

Luonnolliset luvut, kokonaisluvut ja rationaaliluvut ovat kaikki laskettavissa äärettömiä. Mahdollisesti loputtomien joukkojen liitos tai leikkauskohta on myös laskettavissa. Mistä tahansa määrästä laskettavia sarjoja sisältävä Cartesian-tuote on laskettava. Mikä tahansa laskettavan joukon alajoukko on myös laskettavissa.

Yleisin tapa, jolla lukemattomat joukot otetaan käyttöön, on harkita ajanjaksoa (0, 1)

Koko reaalilukujoukko on myös lukematon. Yksi tapa osoittaa tämä on käyttää yksi-yhteen-tangenttia f ( x ) = rusketus x. Tämän funktion verkkotunnus on aikaväli (-π / 2, π / 2), laskematon joukko ja alue on kaikkien todellisten lukujen joukko.

Perusjoukkoteorian operaatioilla voidaan tuottaa enemmän esimerkkejä äärettömästä joukosta:

• Jos on alajoukko B ja on lukematonta, niin se on B. Tämä antaa selkeämmän todisteen siitä, että koko reaalilukujoukko ei ole luettavissa.
• Jos on lukematon ja B on mikä tahansa joukko, sitten liitto U B on myös epäluotettava.
• Jos on lukematon ja B on mikä tahansa sarja, sitten Cartesian-tuote x B on myös epäluotettava.
• Jos on ääretön (jopa lasketavasti ääretön), sitten virta asetettu of on lukematon.

Kaksi muuta toisiinsa liittyvää esimerkkiä ovat hiukan yllättäviä. Kaikki reaalilukujen alajoukot eivät ole selkeästi äärettömiä (tosiasiassa rationaaliluvut muodostavat laskettavan reaalien alajoukon, joka on myös tiheä). Tietyt osajoukot ovat äärettömän rajattomia.

Yksi näistä äärettömästi äärettömistä osajoukoista sisältää tietyntyyppisiä desimaalin laajennuksia. Jos valitsemme kaksi numeroa ja muodostamme jokaisen mahdollisen desimaalin laajennuksen vain näillä kahdella numerolla, tuloksena oleva ääretön joukko on lukematon.

Toinen sarja on monimutkaisempi rakentaa ja on myös epäselvä. Aloita suljetulla aikavälillä [0,1]. Poista tämän sarjan keskikoko kolmasosa, jolloin tuloksena on [0, 1/3] U [2/3, 1]. Poista nyt jokaisen jäljellä olevan kappaleen keskiosa kolmannesta. Joten (1/9, 2/9) ja (7/9, 8/9) poistetaan. Jatkamme tällä tavalla. Pistejoukko, joka jää jäljelle kaikkien näiden intervallien poistamisen jälkeen, ei ole välilyönti, mutta se on kuitenkin lukemattomasti ääretön. Tätä sarjaa kutsutaan kantorijoukkoksi.

On äärettömän paljon lukemattomia sarjoja, mutta yllä olevat esimerkit ovat joitain yleisimmin kohdatuista sarjoista.