Vektorimatematiikka: perus, mutta kattava johdanto

Tämä on perus, vaikka toivottavasti melko kattava johdanto vektorien kanssa työskentelemiseen. Vektorit ilmenevät monin eri tavoin siirtymästä, nopeudesta ja kiihtyvyydestä voimiin ja kenttiin. Tämä artikkeli on omistettu vektorien matematiikalle; niiden soveltamista tietyissä tilanteissa käsitellään muualla.

vektorisuuretai vektori, antaa tietoa määrän lisäksi myös määrän suunnasta. Kun annat ohjeita taloon, ei riitä, että sanotaan, että se on 10 mailin päässä, mutta myös 10 mailin suunta on annettava, jotta tiedot ovat hyödyllisiä. Muuttujat, jotka ovat vektoreita, merkitään lihavoidulla muuttujalla, vaikkakin on yleistä nähdä vektoreita, jotka on merkitty pienillä nuoleilla muuttujan yläpuolella.

Aivan kuten emme sano, että toinen talo on -10 mailin päässä, vektorin suuruus on aina positiivinen luku tai pikemminkin vektorin "pituuden" absoluuttinen arvo (vaikkakin määrä ei välttämättä ole pituus, se voi olla nopeus, kiihtyvyys, voima jne.) Negatiivi vektorin edessä ei tarkoita muutosta suuruudessa, vaan pikemminkin vektori.

Yllä olevissa esimerkeissä etäisyys on skalaarimäärä (10 mailia), mutta siirtymä on vektorimäärä (10 mailia koilliseen). Samoin nopeus on skalaarimäärä, kun taas nopeus on a vektori määrä.

yksikkövektori on vektori, jonka suuruus on yksi. Yksikkövektoria edustava vektori on yleensä myös lihavoitu, vaikka siinä olisi karaatteja (^) osoittaa muuttujan yksikköluonteen. Yksikkövektori x, kun kirjoitetaan karaatilla, luetaan yleensä "x-hattuksi", koska karaatti näyttää muuten kuin hattu muuttujalla.

nollavektoritai nollavektori, on vektori, jonka voimakkuus on nolla. Se on kirjoitettu nimellä 0 tässä artikkelissa.

Vektorit ovat yleensä suuntautuneet koordinaatistoihin, joista suosituin on kaksiulotteinen Cartesian-taso. Karteesia-tasolla on vaaka-akseli, joka on merkitty x: llä, ja pystyakselilla, joka on merkitty y: llä. Jotkut fysiikan vektorien edistyneistä sovelluksista vaativat kolmiulotteisen tilan käyttämistä, jossa akselit ovat x, y ja z. Tämä artikkeli käsittelee lähinnä kaksiulotteista järjestelmää, vaikka käsitteitä voidaan laajentaa huolellisesti kolmeen ulottuvuuteen ilman liikaa vaivaa.

Moniulotteisissa koordinaattijärjestelmissä olevat vektorit voidaan hajottaa niihin komponenttivektorit. Kaksiulotteisessa tapauksessa tämä johtaa a X-komponentti ja a y-komponentti. Hajotettaessa vektori sen komponentteihin, vektori on komponenttien summa:

F = F_x + F_y

thetaF_xF_yF

F_x / F = cos theta ja F_y / F = synti thetajoka antaa meille
F_x = F cos theta ja F_y = F synti theta

Huomaa, että tässä olevat luvut ovat vektorien suuruuksia. Tiedämme komponenttien suunnan, mutta yritämme löytää niiden suuruuden, joten poistamme suunnatiedot ja suoritamme nämä skalaariset laskelmat suuruuden selvittämiseksi. Trigonometrian lisäsovelluksella voidaan löytää muita suhteita (kuten tangentti), jotka liittyvät joidenkin näiden määrien välille, mutta mielestäni se riittää nyt.

Monien vuosien ajan ainoa matematiikka, jonka opiskelija oppii, on skalaarimatematiikka. Jos matkustat 5 mailia pohjoiseen ja 5 mailia itään, olet matkustanut 10 mailia. Skaalaarimäärien lisääminen ohittaa kaiken suunnista tulevan tiedon.

Vektorit manipuloidaan jonkin verran eri tavalla. Suunta on aina otettava huomioon niitä manipuloitaessa.

Kun lisäät kaksi vektoria, on kuin ottaisit vektorit ja sijoittaisit ne päästä loppuun ja loisit uuden vektorin, joka kulkisi lähtöpisteestä loppupisteeseen. Jos vektoreilla on sama suunta, tämä tarkoittaa vain suuruusluokkien lisäämistä, mutta jos niillä on eri suunnat, siitä voi tulla monimutkaisempi.

Voit lisätä vektoreita hajottamalla ne komponentteihinsa ja lisäämällä sitten komponentit, kuten alla:

+ b = C
_x + _y + b_x + b_y =
( _x + b_x) + ( _y + b_y) = C_x + C_y

Kaksi x-komponenttia johtaa uuden muuttujan x-komponenttiin, kun taas kaksi y-komponenttia johtaa uuden muuttujan y-komponenttiin.

Järjestyksessä, jossa vektorit lisätään, ei ole merkitystä. Itse asiassa useita skalaarisäytön ominaisuuksia pidätetään vektorilisäyksessä:

Vector-lisäyksen henkilöllisyysominaisuus
+ 0 =
Vektorin lisäyksen käänteinen omaisuus
+ - = - = 0
Vektorilisäyksen heijastava ominaisuus
=
Kommutatiivinen omaisuus vektorilisäyksestä
+ b = b +
Vector-lisäyksen yhdistävä omaisuus
( + b) + C = + (b + C)
Vektorin lisäyksen siirtyvä omaisuus
Jos = b ja C = b, sitten = C

Yksinkertaisin operaatio, joka voidaan suorittaa vektorille, on kertoa se skalaarilla. Tämä skalaarikertomus muuttaa vektorin suuruutta. Toisin sanoen se tekee vektorista pidemmän tai lyhyemmän.

Kertomalla kertaa negatiivinen skalaari, tuloksena oleva vektori osoittaa vastakkaiseen suuntaan.

skalaarituote Kaksi vektoria on tapa kertoa ne yhteen skalaarimäärän saamiseksi. Tämä kirjoitetaan kahden vektorin kertolaskuna siten, että keskellä oleva piste edustaa kertolaskua. Sellaisena sitä kutsutaan usein pistetuote kahdesta vektorista.

Laskeaksesi kahden vektorin pistetuotteen otat huomioon niiden välinen kulma. Toisin sanoen, jos heillä olisi sama lähtökohta, mikä olisi kulman mittaus (theta) heidän välillään. Pistetuote on määritelty seuraavasti:

* b = ab cos theta

abAbba

Tapauksissa, joissa vektorit ovat kohtisuorassa (tai theta = 90 astetta), cos theta on nolla. Siksi, kohtisuoraan vektoreiden pistetuote on aina nolla. Kun vektorit ovat yhdensuuntaisia (tai theta = 0 astetta), cos theta on 1, joten skalaarituote on vain suuruuksien tuote.

Näitä pieniä tosiasioita voidaan käyttää todistamaan, että jos tiedät komponentit, voit eliminoida teetan tarpeen kokonaan (kaksiulotteisella) yhtälöllä:

* b = _x b_x + _y b_y

vektorituote on kirjoitettu muodossa x b, ja sitä kutsutaan yleensä ristituote kahdesta vektorista. Tässä tapauksessa kerrotaan vektorit ja skalaarimäärän saamisen sijasta saamme vektorimäärän. Tämä on vaikein vektorilaskelmista, joiden kanssa käsittelemme, sellaisena kuin se on ei kommutatiivinen ja sisältää pelätyn käytön oikeanpuoleinen sääntö, johon pääsen pian.

Tarkastellaan jälleen kahta vektoria, jotka on piirretty samasta kohdasta kulman kanssa theta heidän välillään. Otamme aina pienimmän kulman, joten theta on aina välillä 0 - 180 ja tulos ei siksi koskaan ole negatiivinen. Tuloksena olevan vektorin suuruus määritetään seuraavasti:

Jos C = x b, sitten C = ab synti theta

Rinnakkaisten (tai antiparallelisten) vektorien vektorituote on aina nolla

Vektorituote on kohtisuorassa näistä kahdesta vektorista luodun tason kanssa. Jos kuvan taso on tasainen pöydällä, kysymys tulee, meneekö tuloksena oleva vektori ylöspäin (meidän "ulos" pöydästä, meidän näkökulmasta) tai alas (tai "osaksi" pöytään, meidän näkökulmasta).

Jotta selvittää tämä, sinun on sovellettava ns oikeanpuoleinen sääntö. Kun opiskelin fysiikkaa koulussa, minä detested oikeanpuoleinen sääntö. Joka kerta kun käytin sitä, minun piti vetää kirja ulos tutkimaan miten se toimi. Toivottavasti kuvausni on hiukan intuitiivisempi kuin se, johon minulle tutustuttiin.

Jos sinulla on x b asetat oikean käden pituuteen b niin, että sormet (paitsi peukalo) voivat kaareutua osoittamaan pitkin . Toisin sanoen yrität tavallaan tehdä kulma theta oikean käden kämmenen ja neljän sormen välillä. Peukalo, tässä tapauksessa, tarttuu suoraan ylöspäin (tai näytön ulkopuolelle, jos yrität tehdä sen tietokoneeseen asti). Nastasi ovat suunnilleen linjassa kahden vektorin lähtöpisteen kanssa. Tarkkuus ei ole välttämätöntä, mutta haluan sinun saavan idean, koska minulla ei ole kuvaa siitä.

Jos kuitenkin harkitset b x , teet päinvastoin. Laitat oikean käden pitkin ja osoita sormesi pitkin b. Jos yrität tehdä tämän tietokoneen näytöllä, se on mahdotonta, joten käytä mielikuvitustasi. Huomaat, että tässä tapauksessa kekseliäs peukalo osoittaa tietokoneen näytölle. Se on tuloksena olevan vektorin suunta.

Oikeanpuoleinen sääntö näyttää seuraavan suhteen:

x b = - b x

CABC

C_x = _y b_z - _z b_y
C_y = _z b_x - _x b_z
C_z = _x b_y - _y b_x

abC_xC_yC

Korkeammilla tasoilla vektorit voivat olla erittäin monimutkaisia ​​työskennellä. Koko korkeakoulukurssi, kuten lineaarinen algebra, viettää paljon aikaa matriiseihin (joita välitin ystävällisesti tässä johdannossa), vektoreihin ja vektoritilat. Tämä yksityiskohtien taso ei kuulu tämän artikkelin soveltamisalaan, mutta sen pitäisi tarjota perusta, joka tarvitaan suurimmalle osalle fysiikan luokkahuoneessa suoritettavista vektorikäsittelyistä. Jos aiot opiskella fysiikkaa syvemmälle, sinut tutustutaan monimutkaisempiin vektorikäsitteisiin opiskellessasi läpi.